【題目】已知函數(shù)
.
討論
的單調(diào)性.
若
，求
的取值范圍.
【答案】（1）
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增；（2）
.
【解析】
討論當(dāng)
，
時導(dǎo)數(shù)符號變化情況求得單調(diào)性
由
的討論知：
時，
,解
；
時，
<0,解符合；當(dāng)
時，
，構(gòu)造函數(shù)
，
，求導(dǎo)判單調(diào)性解a的不等式；
時，
,解a范圍，則問題得解
（1）
當(dāng)時，
，
；
，
.
所以
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增.
當(dāng)
時，
對
恒成立，所以在
上單調(diào)遞增.
當(dāng)
時，
，；
，.
所以在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增.
（2）①當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，則在
上單調(diào)遞增，
所以
，解得
②當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.
所以 對
恒成立，則符合題意；
當(dāng)時，在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增.
所以.
設(shè)函數(shù)，，
易得知時
，
所以
，
故
對
恒成立，即符合題意.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.
所以
對
恒成立，則符合題意.
綜上所述：
的取值范圍為
.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析，從而得到表（單位：人）
經(jīng)常網(wǎng)購 | 偶爾或不用網(wǎng)購 | 合計 | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計 |
（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)？
（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為
，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的最大值；
（2）令
，（
）其圖象上任意一點
處切線的斜率
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）當(dāng)
，
，方程
有唯一實數(shù)解，求正數(shù)
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某中學(xué)為調(diào)查該校學(xué)生每周參加社會實踐活動的情況，隨機收集了若干名學(xué)生每周參加社會實踐活動的時間（單位：小時），將樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖，且在[0,2)內(nèi)的學(xué)生有1人.
（1）求樣本容量
，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學(xué)生每周參加社會實踐活動時間的平均值；
（2）將每周參加社會實踐活動時間在[4,12]內(nèi)定義為“經(jīng)常參加社會實踐”，參加活動時間在[0,4)內(nèi)定義為“不經(jīng)常參加社會實踐”.已知樣本中所有學(xué)生都參加了青少年科技創(chuàng)新大賽，有13人成績等級為“優(yōu)秀”，其余成績?yōu)椤耙话恪保渲谐煽儍?yōu)秀的13人種“經(jīng)常參加社會實踐活動”的有12人.請將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為青少年科技創(chuàng)新大賽成績“優(yōu)秀”與經(jīng)常參加社會實踐活動有關(guān)；
（3）在（2）的條件下，如果從樣本中“不經(jīng)常參加社會實踐”的學(xué)生中隨機選取兩人參加學(xué)校的科技創(chuàng)新班，求其中恰好一人成績優(yōu)秀的概率.
參考公式和數(shù)據(jù)：
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為
，其中
為第
題的難度， 
為答對該題的人數(shù)， 
為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后，從中隨機抽取了10名學(xué)生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表，并估計這120名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測答對人數(shù) | |||||
實測難度 |
（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；
（Ⅲ）定義統(tǒng)計量
，其中
為第
題的實測難度， 
為第
題的預(yù)估難度
．規(guī)定：若
，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=
（弦矢+矢2）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為
，弦長等于9米的弧田.
（1）計算弧田的實際面積；
（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】觀察以下等式：
13＝12
13+23＝（1+2）2
13+23+33＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2
（1）請用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，求S10．
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