Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

，
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并用定義證明；
③解關(guān)于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

分析：①直接根據(jù)f（0）=0以及f(

1

2

)=

2

5

，得到關(guān)于a，b的兩個等式，求出a，b的值即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
②直接利用單調(diào)性的定義證明即可得到證明其單調(diào)性；
③令log₂^x=t，直接利用其為奇函數(shù)把不等式轉(zhuǎn)化為f（t-1）＜f（-t）；再根據(jù)其單調(diào)性即可得到不等式的解集．

解答：解：①依題意得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，即

b=0 1 2 a+b 1+ 1 4 = 2 5

，解得：

a=1 b=0

．
∴f（x）=

x

1+x2

．
②f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
證明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
③令log₂^x=t，則不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
轉(zhuǎn)化為f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜

1

2

．
∴0＜log₂^x＜

1

2

⇒1＜x＜

2

．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集為（1，

2

）．

點評：本題主要考察對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)奇函數(shù)定義域內(nèi)有0得到f（0）=0．