Question

已知在f（x）=（x+1）ⁿ的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大．
（1）求n；
（2）求f（96）被10除所得的余數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可知第6項為展開式的中間項，從而可知n的值；
（2）由于f（96）=（96+1）¹⁰=（100-3）¹⁰，利用二項式定理可知，f（96）被10除得的余數(shù)與3¹⁰除得的余數(shù)相同，從而可求答案．

解答：解：（1）∵f（x）=（x+1）ⁿ的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，
∴

n

2

+1=6，
∴n=10…（4分）
（2）∵f（96）=（96+1）¹⁰=97¹⁰=（100-3）¹⁰
=

C

0 10

×100¹⁰-

C

1 10

×100⁹×3+

C

2 10

×100⁸×3²-…-

C

9 10

×100×3⁹+

C

10 10

•3¹⁰
∴f（96）被10除得的余數(shù)與3¹⁰除得的余數(shù)相同…（10分）
又3¹⁰=9⁵=（10-1）⁵=

C

0 5

×10⁵-

C

1 5

×10⁴+

C

2 5

×10³-

C

3 5

×10²+

C

4 5

×10¹-

C

5 5

∴3¹⁰被10除得的余數(shù)為9，
∴f（96）被10除得的余數(shù)為9…（14分）

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，突出考查整除問題，得到f（96）被10除得的余數(shù)與3¹⁰除得的余數(shù)相同是關(guān)鍵，屬于中檔題．