Question

（理）如圖，P為△ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，過點A作垂直于PC的截面ADE，截面交PC于點D，交PB于點E．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 若點M為△PBC內的點，且滿足M到AD的距離等于M到BC的距離，試指出點M的軌跡是什么圖形，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵P為△ABC所在平面外一點，且PA⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵平面PAC∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BC⊥PC；
（Ⅱ）證明：∵PC⊥截面ADE，DE?截面ADE
∴PC⊥DE
∵BC⊥PC
∴DE∥BC
∵DE?平面ABC，BC?平面ABC
∴DE∥平面ABC；
（Ⅲ） 解：連接MD
∵PC⊥截面ADE，AD?截面ADE
∴AD⊥BC
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC
∴AD⊥平面PBC
∵MD?平面PBC
∴AD⊥MD
∴MD為M到AD的距離
∵點M為△PBC內的點，且滿足M到AD的距離等于M到BC的距離
∴根據(jù)拋物線的定義，可知點M的軌跡是拋物線的一部分．
分析：（Ⅰ）證明線線垂直的關鍵是利用線面垂直的性質，因此只需要證明線面垂直即可，利用面面垂直的性質可以證明；
（Ⅱ）證明線面平行的關鍵是利用線面平行的判定定理，因此只需要證明DE平行于平面ABC內的一條直線即可；
（Ⅲ） 先證明AD⊥平面PBC，從而MD為M到AD的距離，因為點M為△PBC內的點，且滿足M到AD的距離等于M到BC的距離，根據(jù)拋物線的定義，可知點M的軌跡是拋物線的一部分．
點評：本題以線面垂直為載體，考查線線垂直，線面平行，考查軌跡問題，解題的關鍵是正確運用線面垂直，線面平行的判定與性質．