Question

已知函數(shù)f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（1）當(dāng)a=2時，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
（2）當(dāng)x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函數(shù)f（x），對其進行求導(dǎo)，證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可；
（2）已知x≥1時，g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，證明g（x）的最小值大于0即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的最值問題，從而求出實數(shù)a的取值范圍；

解答：解：（1）a=2，可得f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，
可得f′（x）=e^-x-xe^-x+xe^x-2-e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x），
令g（x）=e^x-2-e^-x，g′（x）e^x-2+e^-x＞0，是增函數(shù)，
g（1）=0，
當(dāng)x≥1時，x-1≥0，g（x）≥g（1）=0，∴f′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜1時，x-1＜0，g（x）＜g（1）=0，∴f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
綜上：當(dāng)a=2時，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)，即證；
（2）當(dāng)x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，令g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，
可知y=

(x-1)2

ex

在x≥1上是減函數(shù)，
對于函數(shù)f′（x）=（x-1）（e^x-a-e^-x），在x≥1上是增函數(shù)，
∴g（x）在x≥1上是增函數(shù)，
可得g（x）_min=g（1），∵當(dāng)x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，
可得，g（1）≥0，可得
g（1）=e^-1-e^1-a≥0，解得a≥2；

點評：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及其證明，本題利用導(dǎo)數(shù)進行證明需要進行二次求導(dǎo)，是一道好題，解題過程中用到了分類討論的思想；