【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論
的單調(diào)性；
（2）如果方程
有兩個不相等的解
，且
，證明：
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）對函數(shù)
進行求導(dǎo)得
，再對
進行分類討論，解不等式，即可得答案；
（2）當(dāng)
時，在
單調(diào)遞增，
至多一個根，不符合題意；當(dāng)
時，在
單調(diào)遞減，在
單調(diào)遞增，則
.不妨設(shè)
，只要證
，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論.
（1）
.
①當(dāng)時，
單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞增.
綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多一個根，不符合題意；
當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.
不妨設(shè)，
要證
，即證，即證
，即證
.
因為在單調(diào)遞增，即證
，
因為
，所以即證
，即證
.
令
，
.
當(dāng)
時，
單調(diào)遞減，又
，
所以時，
，即，
即
.
又
，所以，所以.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一排組成.
| 明文字符 | A | B | C | D |
密碼字符 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
| 明文字符 | E | F | G | H |
密碼字符 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
| 明文字符 | M | N | P | Q |
密碼字符 | 1 | 2 | 3 | 4 |
設(shè)隨機變量
表示密碼中不同數(shù)字的個數(shù)．
(Ⅰ)求的分布列和它的數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為美化校園，江蘇省淮陰中學(xué)將一個半圓形的邊角地改造為花園.如圖所示，O為圓心，半徑為1千米，點A、B、P都在半圓弧上，設(shè)∠NOP=∠POA=
，∠AOB=
，且
.
（1）請用分別表示線段NA、BM的長度；
（2）若在花園內(nèi)鋪設(shè)一條參觀線路，由線段NA、AB、BM三部分組成，則當(dāng)取何值時，參觀線路最長？
（3）若在花園內(nèi)的扇形ONP和四邊形OMBA內(nèi)種滿杜鵑花，則當(dāng)取何值時，杜鵑花的種植總面積最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于數(shù)列{an}，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱{an}為P數(shù)列.
（1）若{an}的前n項和Sn＝3n+2，試判斷{an}是否是P數(shù)列，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列a1，a2，a3，…，a10是首項為﹣1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)列，求d的取值范圍；
（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}是首項為a、公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為T1，T2，求{an}是P數(shù)列時a與q所滿足的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數(shù)列”.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】由我國引領(lǐng)的5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對
增長產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造岀更多的經(jīng)濟增加值.如圖是某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出所做的預(yù)測.結(jié)合下圖，下列說法正確的是（ ）
A.5G的發(fā)展帶動今后幾年的總經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加
B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩
C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位
D.信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：
每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件） |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數(shù) | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面
列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？
非“生產(chǎn)能手” | “生產(chǎn)能手” | 合計 | |
男員工 | |||
span>女員工 | |||
合計 |
（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出
件的部分，累進計件單價為1.2元；超出
件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查，設(shè)實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形
中，
，
為邊
的中點，以
為折痕把
折起，使點
到達(dá)點
的位置，且使平面
平面
.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】過橢圓
的左頂點
作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為
，與
軸的交點為
，已知
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)動直線
與橢圓有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
，若
軸上存在一定點
，使得
，求橢圓的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，T表示利潤.
（Ⅰ）將T表示為x的函數(shù)
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若x
,則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110
，求T的數(shù)學(xué)期望.
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