Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

k+2

+

y2

k+1

=1的左右焦點(diǎn)，弦AB過F₁，若△ABF₂的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)a²=k+2，b²=k+1求得c的表達(dá)式．再根據(jù)橢圓定義知道|AF₁|+|AF₂|關(guān)于k的表達(dá)式，再根據(jù)三角形ABF₂的周長(zhǎng)求得k，進(jìn)而可求得a，最后根據(jù)e=

c

a

求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意知a²=k+2，b²=k+1
c²=k+2-（k+1）=1
所以c=1
根據(jù)橢圓定義知道：
lAF1l+lAF2l=lBF1l+lBF2l=2

k+2

而三角形ABF₂的周長(zhǎng)
=lABl+lAF2l+lBF2l
=lAF1l+lAF2l+lBF1l+lBF2l
=4

k+2

=8
得出k+2=4
得K=2
∴a=

k+2

=2，
e=

c

a

=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓性質(zhì)．要利用好橢圓的第一和第二定義．