Question

如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號). 

①當(dāng)0<CQ<時(shí),S為四邊形;

②當(dāng)CQ=時(shí),S為等腰梯形;

③當(dāng)CQ=時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=;

④當(dāng)<CQ<1時(shí),S為六邊形;

⑤當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為.

 

Answer 1

【答案】

①②③⑤

【解析】利用平面的基本性質(zhì)結(jié)合特殊四邊形的判定與性質(zhì)求解.

①當(dāng)0<CQ<時(shí),如圖(1).

在平面AA1D1D內(nèi),作AE∥PQ,

顯然E在棱DD1上,連接EQ,

則S是四邊形APQE.

②當(dāng)CQ=時(shí),如圖(2).

顯然PQ∥BC1∥AD1,連接D1Q,

則S是等腰梯形.

③當(dāng)CQ=時(shí),如圖(3).

作BF∥PQ交CC1的延長線于點(diǎn)F,則C1F=.

作AE∥BF,交DD1的延長線于點(diǎn)E,D1E=,AE∥PQ,

連接EQ交C1D1于點(diǎn)R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,

∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,

∴C1R=.

④當(dāng)<CQ<1時(shí),如圖(3),連接RM(點(diǎn)M為AE與A1D1交點(diǎn)),顯然S為五邊形APQRM.

⑤當(dāng)CQ=1時(shí),如圖(4).

同③可作AE∥PQ交DD1的延長線于點(diǎn)E,交A1D1于點(diǎn)M,顯然點(diǎn)M為A1D1的中點(diǎn),所以S為菱形APQM,其面積為MP×AQ=××=.