Question

平面直角坐標系中，O為原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足OC=α+β，其中α、β∈R，且α-2β=1，

（1）求點C的軌跡方程；

（2）設點C的軌跡與雙曲線=1（a＞0,b＞0）交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值.

Answer 1

（1）解析：設C（x，y），因為=α+β，

則（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）

∴∵α-2β=1,∴x+y=1.

即點C的軌跡方程為x+y=1.

（2）證明：由得：（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0.

由題意,得b²-a²≠0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）,

則：x₁+x₂=,

x₁x₂=-.

因為以MN為直徑的圓過原點，=0，

即x₁x₂+y₁y₂=0,x₁x₂+(1-x₂)(1-x₂)

=1-(x₁+x₂)+2x₁x₂

=1+=0,

即b²-a²-2a²b²=0,∴=2為定值.