Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°
（1）求證：EF⊥平面BCE；
（2）設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，在直線AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥平面BCE？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證EF⊥平面BCE，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根據(jù)條件很顯然；
（2）取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，易證PM∥CN，根據(jù)線面平行的判定定理很快得證；

解答：證明：（1）因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因?yàn)椤螦EF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因?yàn)锽C?平面ABCD，BE?平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
（2）存在點(diǎn)M，當(dāng)M為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面
取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，則MN=

1

2

AB=PC
∴PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，
∴PM∥平面BCE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．