Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

【解析】

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得參數(shù)的值，代入導(dǎo)函數(shù)即可求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.

（2）求得導(dǎo)函數(shù)并化簡(jiǎn)變形，進(jìn)而討論、、三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定極值情況.

（1）函數(shù)圖象過點(diǎn)，

代入可得，

∴解得.

代入函數(shù)可得，

則，

所以，

由點(diǎn)斜式可得切線方程為.

所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）函數(shù)（）.

則，，

令，.

（�。┊�(dāng)時(shí)，代入可得，

令，解得，

當(dāng)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，

因而只有一個(gè)極大值點(diǎn)

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，

由兩根之積為可知方程只有一個(gè)正根，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，

因而只有一個(gè)極大值點(diǎn)

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，有兩個(gè)正根，

	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

綜上可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極大值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).