【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）討論
的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）若點(diǎn)
在函數(shù)
上，當(dāng)
，且
時，證明： 
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ) 當(dāng)
時， 
， 
在
上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)
時，令
求得
的范圍，可得函數(shù)
增區(qū)間， 
求得
的范圍，可得函數(shù)
的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（Ⅱ）由點(diǎn)
在函數(shù)
上，可得
，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性，從而可得
，得
恒成立，取
， 
，化簡可得結(jié)果.
試題解析：（Ⅰ）由題，得
.
當(dāng)
時， 
， 
在
上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)
時，令
，得
.
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞減；
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞增.
的極小值為
，無極大值；
（Ⅱ）
，代入點(diǎn)
， 
.
.
.
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞減；
當(dāng)
時， 
， 
單調(diào)遞增.
.
恒成立，
即
恒成立.
，令
.
.
，即
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)
時，函數(shù)
有最小值.設(shè)
的最小值為
，求函數(shù)
的值域.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若b=2，c=
，求a及△ABC的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓
的方程為
（
），點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)
， 
的坐標(biāo)分別為
， 
，點(diǎn)
在線段
上，滿足
，直線
的斜率為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若斜率為
的直線
交橢圓
于
， 
兩點(diǎn)，交
軸于點(diǎn)
（
），問是否存在實數(shù)
使得以
為直徑的圓恒過點(diǎn)
？若存在，求
的值，若不存在，說出理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求證：
恒成立；
（2）若關(guān)于
的方程
至少有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能
與韓國棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量， 
獲得本場比賽勝利，最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格
.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有
的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)？
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生，抽取3次，記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為
。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求
的平均值和方差.
附： 
，其中
.
| 0.05 | 0.01 |
| td style="width:124.95pt; border-top-style:solid; border-top-width:0.75pt; border-right-style:solid; border-right-width:0.75pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle">6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠今年前三個月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量統(tǒng)計表如下：
為了估測以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量
與月份
的關(guān)系，模擬函數(shù)可選擇二次函數(shù)
（
為常數(shù)且
），或函數(shù)
（
為常數(shù)）.已知4月份的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓C過點(diǎn)M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，已知圓
的圓心坐標(biāo)為
，半徑為
，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 
軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線
的參數(shù)方程為： 
（
為參數(shù)）
(1)求圓
和直線
的極坐標(biāo)方程；
(2)點(diǎn)
的極坐標(biāo)為
，直線
與圓
相較于
,求
的值.
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