Question

（本小題滿分13分）

設(shè)是數(shù)列（）的前項和，，且，，．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）試找出一個奇數(shù)，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項都是數(shù)列中的項，并指出是數(shù)列中的第幾項．

 

Answer 1

【答案】

（I）數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列

（II）若是數(shù)列中的第項，由得，取，得，是數(shù)列中的第項．

【解析】解：（I）當時，由已知得．

因為，所以． …………………………①

于是． …………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，

而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列．

所以，，．

由題設(shè)知，．當為奇數(shù)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項，只可能是數(shù)列中的項．

若是數(shù)列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，，從而是數(shù)列中的第項．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項即可）