Question

在數(shù)列與中，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,為與的等比中項(xiàng)，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè). 證明：.

Answer 1

（Ⅰ）解：由題設(shè)有，，解得．由題設(shè)又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：由題設(shè)，，，及，，進(jìn)一步可得，，，，

猜想，，．

先證，．

當(dāng)時(shí)，，等式成立．當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．

（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即，．

由題設(shè)，　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而

．

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的成立．

綜上所述，等式對(duì)任何的都成立

再用數(shù)學(xué)歸納法證明，．

（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么

．

這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的都成立．

解法二：由題設(shè)　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以

，

，

……

，．

將以上各式左右兩端分別相乘，得，

由（Ⅰ）并化簡(jiǎn)得，．

上式對(duì)也成立．

由題設(shè)有，所以，

即，．

令，則，即．

由得，．所以，

即，．

解法三：由題設(shè)有，，所以

，

，

……

，．

將以上各式左右兩端分別相乘，

得，化簡(jiǎn)得

，．

由（Ⅰ），上式對(duì)也成立．所以，．

上式對(duì)時(shí)也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）證明：．

當(dāng)，時(shí)，

．

注意到，故

　．

當(dāng)，時(shí)，

當(dāng)，時(shí)，

．

當(dāng)，時(shí)，

．

所以．

從而時(shí)，有

總之，當(dāng)時(shí)有，即．