Question

在△ABC中，A，C為銳角，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若，求a，b，c的值；
（3）已知tan（α+A+C）=2，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二倍角三角函數(shù)與同角三角函數(shù)的關(guān)系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用兩角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（2）由（1）求出的cos（A+C）值，可得A+C=，從而算出sinB=，結(jié)合正弦定理得出a：b：c=2：5：，再結(jié)合題意，不難得出三邊a，b，c的值；
（3）由題意，tan（α+）=2，解之得tanα=，再將所求式的分子轉(zhuǎn)化為cos²α+sin²α，分子分母同除以cos²α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子，即可得到所求式子的值．
解答：解：（1）∵，且A為銳角
∴cosA=，sinA==
∵sinC=，且C為銳角
∴cosC==
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=•-•=
（2）∵cos（A+C）=，0＜A+C＜π，∴A+C=，得B=π-=，sinB=
∵sinA=，sinB=，sinC=，
∴sinA：sinB：sinC=2：5：
由正弦定理，得a：b：c=2：5：，設(shè)a=2x，得b=5x，c=x
∵，得2x-x=
∴x=，可得a=，b=，c=1
（3）由（2）知A+C=，得tan（α+）=2
∴=2，解之得tanα=
所以===
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的兩個(gè)角A、C與邊a、c的關(guān)系式，求三邊的長(zhǎng)并求三角函數(shù)式的值，著重考查了三角恒等變形、三角形內(nèi)角和定理和用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．