Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-a，0）、A₂（a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A₁、A₂兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。
（1）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為C₁：對(duì)給定的m∈（-1， 0）∪（0，+∞），對(duì)應(yīng)的曲線為C₂。設(shè)F₁、F₂是C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問(wèn)：在C₁上，是否存在點(diǎn)N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²。若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≠±a時(shí)，由條件可得
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0）、A₂（a，0）的坐標(biāo)滿足mx²-y²=ma²，
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=ma²
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線C的方程為
C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m>0時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。
（2）由（1）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C₁的方程為x²+y²=a²；
當(dāng)m∈（-1，0）∪（0，+∞）時(shí)，C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
對(duì)于給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在點(diǎn)N（x₀，y₀）（y₀≠0）使得S=|m|a²的充要條件是

由①得0＜|y₀|≤a，由②得
當(dāng)，即或時(shí)
存在點(diǎn)N，使S=|m|a²
當(dāng)即或時(shí)，
不存在滿足條件的點(diǎn)N。
當(dāng)時(shí)
由，-y₀）
可得
令
則由
可得
從而
于是由S=|m|a²
可得，即
綜上可得：當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=2；
當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF2=-2；
當(dāng)時(shí)，在C₁上，不存在滿足條件的點(diǎn)N。