Question

已知兩個向量集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，若M∩N是只有一個元素的集合，則λ的值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中兩個向量集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，M∩N是只有一個元素的集合，我們易得關(guān)于t的方程組

1 2 -t=cosα 1 2 +t=λ+sinα

只有一個解，利用三角函數(shù)平方關(guān)系，易得2t2-2λt+(λ2-λ-

1

2

)=0只有一個解，根據(jù)二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，即可得到滿足條件的△的值．

解答：解：∵集合M={

a

|

a

=(

1

2

-t，

1

2

+t)，t∈R}，
N={

b

|

b

=(cosα，λ+sinα)，α∈R}，
若M∩N是只有一個元素的集合，
則

1 2 -t=cosα 1 2 +t=λ+sinα

只有一個解
即方程(

1

2

-t)2+(

1

2

+t-λ)2=1只有一個解
即2t2-2λt+(λ2-λ-

1

2

)=0只有一個解
故△=4λ2-8(λ2-λ-

1

2

)=0
解得λ=1±

2

故答案為：1±

2

點評：本題考查的知識點是相等向量與相反向量，其中根據(jù)向量相等結(jié)合已知條件構(gòu)造關(guān)于t的方程組是解答本題的關(guān)鍵．