Question

設(shè)平面上A、B兩點坐標分別是(-cos

α

2

  ，sin

α

2

)   ，(cos

3α

2

  ，sin

3α

2

) .  α∈[0，

π

2

]，
（1）求|

AB

|的最大值和最小值；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=

AB

2+4a|

AB

|-3，a∈R，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

AB

的坐標，再根據(jù)向量的模的定義求得|

AB

|2=2+2cos2α．再由α∈[0，

π

2

]，可得cos2α∈[-1，1]，由此可得|

AB

|取得最大值和最小值．
（2）由于函數(shù) f（x）=4（cosα+a）²-3-4a²，α∈[0，

π

2

]，分當a＞0時、當-1≤a≤0時、當a＜-1時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最小值．

解答：解：（1）由題意可得

AB

=（cos

3α

2

+cos

α

2

，sin

3α

2

-sin

α

2

），
∴|

AB

|2=(cos

3α

2

+coa

α

2

)2+(sin

3α

2

-sin

α

2

)2=2+2cos2α，由α∈[0，

π

2

]，可得cos2α∈[-1，1]，
∴當cos2α=-1時，|

AB

|取得最小值為0，當cos2α=1時，|

AB

|取得最大值為2．
（2）由于函數(shù)f（x）=|

AB

|2+4a|

AB

|-3=2+2cos2α+4a

2+2cos2α

，α∈[0，

π

2

]，
∴f（x）=4cos²α+8acosα-3=4（cosα+a）²-3-4a²．
當a＞0時，則cosα=0時，函數(shù)f（x）取得最小值為-3；
當-1≤a≤0時，則cosα=a時，函數(shù)f（x）取得最小值為-3-4a²；
當a＜-1時，則cosα=1時，f（x）取得最小值為1+8a．

點評：本題主要考查求向量的模，三角函數(shù)的恒等變換、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．