Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（p，q），離心率．其中p，q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'．①試建立△AOB的面積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；②莆田十中高三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)試驗(yàn)操作初步推斷：“當(dāng)m變化時(shí)，直線A'B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)”．你認(rèn)為此推斷是否正確？若正確，請(qǐng)寫(xiě)出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由p，q分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差，可知橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），又離心率，從而可求橢圓C的方程；
（2）①將直線x=my+1與橢圓C聯(lián)立，易求S==； ②取特殊點(diǎn)，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點(diǎn)為S（4，0），猜想直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S（4，0），再進(jìn)行證明．
解答：解：（1）依題意橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），從而可得（2分）
解得a=2，b=1．（3分），所以橢圓C的方程是．（4分）
（2）①由得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0．（5分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．（6分），易求S==（8分）                                         
②特別地，令y₁=-1，則
此時(shí)，直線A′B：x+4y-4=0與x軸的交點(diǎn)為S（4，0）
若直線A′B與x軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為S（4，0）（9分）
以下證明對(duì)于任意的m，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S（4，0）
事實(shí)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直線方程為．
令y=0，得．
只需證明，（11分）即證，即證2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125004834600878/SYS201310251250048346008018_DA/16.png">，所以2my₁y₂-3（y₁+y₂）=0成立．
這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)，直線A′B與x軸交于點(diǎn)S（4，0）（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)于恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，通常先猜后證，主要細(xì)細(xì)體會(huì)．