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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          1(1-x)n
          +aln(x-1)
          ,其中n∈N*,a為常數(shù).
          (Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
          (Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí),有f(x)≤x-1.
          分析:(1)欲求:“當(dāng)n=2時(shí),f(x)=
          1
          (1-x)2
          +aln(x-1)
          ”的極值,利用導(dǎo)數(shù),求其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可;
          (2)欲證:“f(x)≤x-1”,令g(x)=x-1-
          1
          (1-x)n
          -ln(x-1)
          ,利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,只要證明函數(shù)f(x)的最大值是x-1即可.
          解答:解:(Ⅰ)解:由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1},
          當(dāng)n=2時(shí),f(x)=
          1
          (1-x)2
          +aln(x-1)
          ,所以f′(x)=
          2-a(1-x)2
          (1-x)3

          (1)當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0得x1=1+
          2
          a
          >1
          ,x2=1-
          2
          a
          <1
          ,
          此時(shí)f′(x)=
          -a(x-x1)(x-x2)
          (1-x)3

          當(dāng)x∈(1,x1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
          當(dāng)x∈(x1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
          (2)當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0恒成立,所以f(x)無(wú)極值.
          綜上所述,n=2時(shí),
          當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=1+
          2
          a
          處取得極小值,極小值為f(1+
          2
          a
          )=
          a
          2
          (1+ln
          2
          a
          )

          當(dāng)a≤0時(shí),f(x)無(wú)極值.
          (Ⅱ)證法一:因?yàn)閍=1,所以f(x)=
          1
          (1-x)n
          +ln(x-1)

          當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
          g(x)=x-1-
          1
          (1-x)n
          -ln(x-1)
          ,
          g′(x)=1+
          n
          (x-1)n+1
          -
          1
          x-1
          =
          x-2
          x-1
          +
          n
          (x-1)n+1
          >0
          (x≥2).
          所以當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,
          又g(2)=0,
          因此g(x)=x-1-
          1
          (x-1)n
          -ln(x-1)≥g(2)=0
          恒成立,
          所以f(x)≤x-1成立.
          當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要證f(x)≤x-1,由于
          1
          (1-x)n
          <0
          ,所以只需證ln(x-1)≤x-1,
          令h(x)=x-1-ln(x-1),
          h′(x)=1-
          1
          x-1
          =
          x-2
          x-1
          ≥0
          (x≥2),
          所以當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),h(x)=x-1-ln(x-1)單調(diào)遞增,又h(2)=1>0,
          所以當(dāng)x≥2時(shí),恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命題成立.
          綜上所述,結(jié)論成立.
          證法二:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
          1
          (1-x)n
          +ln(x-1)

          當(dāng)x≥2時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有
          1
          (1-x)n
          ≤1
          ,
          故只需證明1+ln(x-1)≤x-1.
          令h(x)=x-1-(1+ln(x-1))=x-2-ln(x-1),x∈[2,+∞),
          h′(x)=1-
          1
          x-1
          =
          x-2
          x-1
          ,
          當(dāng)x≥2時(shí),h'(x)≥0,故h(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
          因此當(dāng)x≥2時(shí),h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.
          故當(dāng)x≥2時(shí),有
          1
          (1-x)n
          +ln(x-1)≤x-1

          即f(x)≤x-1.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí),以及不等式的證明,同時(shí)考查邏輯推理能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時(shí)滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案