Question

已知拋物線，直線與E交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn).
（1）求拋物線E的方程；
（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去參數(shù)，得到關(guān)于的方程，得到兩根之和兩根之積，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入到中，化簡(jiǎn)表達(dá)式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出的值，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，先利用點(diǎn)的坐標(biāo)得出直線的斜率，再根據(jù)拋物線方程轉(zhuǎn)化參數(shù)，得到和的關(guān)系式，代入到所求證的式子中，將上一問(wèn)中的兩根之和兩根之積代入，化簡(jiǎn)表達(dá)式得出常數(shù)即可.
試題解析：（Ⅰ）將代入，得．    2分
其中
設(shè)，，則
，．          4分
．
由已知，，．
所以拋物線的方程．          6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
，同理，     10分
所以．    12分
考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理；3.向量的數(shù)量積；4.直線的斜率公式.