Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(1，

3

2

)，且離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為D，且滿(mǎn)足

DA

•

DB

=0，試判斷直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

1

2

可得

c

a

=

1

2

，把點(diǎn)(1，

3

2

)代入橢圓方程，及利用a²=b²+c²即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用

DA

•

DB

=0，得到k_AD•k_BD=-1，即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意橢圓的離心率e=

1

2

．
∴

c

a

=

1

2

，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
又點(diǎn)(1，

3

2

)在橢圓上，∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，解得c²=1．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
由△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，化為3+4k²-m²＞0．
∴x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
∴y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵

DA

•

DB

=0，
∴k_AD•k_BD=-1，又橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
化為7m²+16mk+4k²=0，解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且滿(mǎn)足3+4k²-m²＞0．
當(dāng)m=-2k時(shí)，l：y=k（x-2），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)，l：y=k(x-

2

7

)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(

2

7

，0)．
綜上可知，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與直線(xiàn)的斜率上的關(guān)系、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．