Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+ax（x∈[0，2]）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）（x∈[0，2]）的最小值；
（2）記f（x）（x∈[0，2]）的最小值為m（a），求m（a）的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x²+x，再根據(jù)x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質(zhì)可知f（x）的最小值．
（2）函數(shù)f（x）=-x²+ax 的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=

a

2

．再根據(jù)x∈[0，2]，利用拋物線幾何性質(zhì)，分當(dāng)a≤0時(shí)、0＜a≤2時(shí)、當(dāng)a＞2時(shí)三種情況，分別求得m（a）．再由m（a）的解析式求得m（a）的最大值M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=-x²+x，其圖形是開(kāi)口向下的拋物線．
且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0，1．
又x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質(zhì)可知：f（x）的最小值是f（2）=-2．
（2）∵函數(shù)f（x）=-x²+ax 的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=

a

2

．
且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0，a，a≠0．
若a=0，則與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是0．
又∵x∈[0，2]，∴由拋物線幾何性質(zhì)可知：
①當(dāng)a≤0時(shí)，m（a）=f（2）=-4+2a；
②當(dāng)0＜a≤2時(shí)，m（a）=f（2）=-4+2a；
③當(dāng)a＞2時(shí)，m（a）=f（0）=0，
綜合①②③可知 m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

．
當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)m（a）=-4+2a是單調(diào)遞增函數(shù)，其最大值是M（a）=m（2）=0，
當(dāng)a＞2時(shí)，又函數(shù)m（a）=0，
∴m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

 的最大值M（a）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．