Question

A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，f（A）=4sinA-sin²

A

2

+sin2A+1．
（1）若f（A）=2，求角A；
（2）若f（A）-m-2

3

cosA＜0當(dāng)A∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)f（A）=2，可得sinA=

1

2

，從而求得 A 的值．
（2）由題意可得當(dāng)A∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值，根據(jù)A-

π

3

的范圍求得sin（A-

π

3

）的最大值為

1

2

，
故有

m-1

4

＞

1

2

，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）若f（A）=2，則4sinA•sin²

A

2

+sin2A+1=2，即4sinA

1-cosA

2

+2sinAcosA=1．
解得sinA=

1

2

，∴A=

π

6

，或 A=

5π

6

．
（2）若f（A）-m-2

3

cosA＜0當(dāng)A∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)恒成立，
則當(dāng)A∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，有2sinA+1-m-2

3

cosA＜0，即sin（A-

π

3

）＜

m-1

4

恒成立，
故

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值．
由-

π

6

≤A-

π

3

≤

π

6

，∴sin（A-

π

3

）的最大值為

1

2

，∴

m-1

4

＞

1

2

，∴m＞3．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，得到

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值，是解題的關(guān)鍵．