Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE、AB的中點．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求異面直線AE與BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用P、Q分別是AE、AB的中點?PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，再利用DC∥BE，DC=

1

2

BE可以推出PQ∥DC進(jìn)而證明PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）取BE的中點F，可以先推出QF∥AE且QF=

1

2

AE，所以∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角，然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可．
（Ⅲ）由AC=BC和Q為AB的中點可得CQ⊥AB，再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，進(jìn)而推出DP⊥平面ABE，所以∠DAP就是AD與平面ABE所成的角，在△DAP中求出∠DAP即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：由已知：P、Q分別是AE、AB的中點，
所以，PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，
又DC∥BE，DC=

1

2

BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD（4分）

（Ⅱ）取BE的中點F，連接QF，DF，DQ，可以推出QF∥AE且QF=

1

2

AE，
易證∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角
易知CQ=1，AB=2

3

，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=

2

由余弦定理：可得cos∠DFQ=

3

4

（8分）

（Ⅲ）由AC=BC和Q為AB的中點可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，進(jìn)而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD與平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=

5

?sin∠DAP=

5

5

所以AD與平面ABE所成角的正弦值為

5

5

．（12分）

點評：本題涉及了線面平行以及線線所成角和線面所成角，是對立體幾何知識的綜合考查．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內(nèi)找已知直線平行的直線．當(dāng)然也可以用面面平行來推導(dǎo)線面平行．