Question

（2012•江西模擬）關于x的方程x³-3x²-a=0有3個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是

（-4，0）

．

Answer 1

分析：關于x的方程x³-3x²-a=0有3個不同的實數(shù)解?函數(shù)y=x³-3x²與y=a由三個不同的交點，利用導數(shù)先得出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性并畫出圖象，進而即可得出答案．

解答：解：由x³-3x²-a=0，得x³-3x²=a．
令f（x）=x³-3x²，解x³-3x²=0，得x₁=x₂=0，或x₃=3，即函數(shù)f（x）有一個零點3，和一個二重零點0．
又f^′（x）=3x²-6x=3x（x-2），令f^′（x）=0，則x=0或2．列表如下：
由表格可以看出：
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增．
在x=0時取得極大值，且f（0）=0；在x=2時取得極小值，且f（2）=-4．
綜上可畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，如下圖：
要使函數(shù)y=f（x）與y=a由三個不同的交點，則必須滿足-4＜x＜0．
此時滿足 關于x的方程x³-3x²-a=0有3個不同的實數(shù)解．
故答案為（-4，0）．

點評：把方程的解得問題轉(zhuǎn)化問題函數(shù)的交點問題和熟練應用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性并畫出圖象是解題的關鍵．