Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=2a+1（a≠-1的常數(shù)），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2，n∈N^?），數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)，b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2，n∈N^?）．
（1）證明：{b_n}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列并求{b_n}通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且{S_n}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）當(dāng)a＞0時，求數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2=2an+2n2=2bn（n≥2）及b₂=a₂+4=4a+4，可證{b_n}從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）由（1）可求S_n，結(jié)合{S_n}是等比數(shù)列，及等比數(shù)列的特點(diǎn)可求a；
（3）由n≥2時，an=bn-n2，可求a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

，可得數(shù)列{a_n}的項(xiàng)為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)，結(jié)合a的范圍可求最小項(xiàng)．

解答：解：由題意可得，bn+1=an+1+(n+1)2=2an+(n+1)2-4(n+1)+2+(n+1)2
=2an+2n2=2bn（n≥2）
b₂=a₂+4=4a+4，
∵a≠-1，b₂≠0，即{b_n}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列
∴bn=(4a+4)•2n-2=（a+1）•2ⁿ（n≥2）
∴bn=

a(n=1) (a+1)2n(n≥2，n∈N)

（2）由（1）求得Sn=a+

(4a+4)(2n-1-1)

2-1

=-3a-4+(2a+2)2n
∵{S_n}是等比數(shù)列，
∴3a+4=0，即a=-

4

3

．
（3）由已知當(dāng)n≥2時，an=bn-n2，
∴a_n=

2a+1，n=1 (a+1)2n-n2，n≥2

所以數(shù)列{a_n}為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)．
當(dāng)a∈(0，

1

4

)時，最小項(xiàng)為8a-1； 
當(dāng)a∈(

1

4

，

1

2

)時，最小項(xiàng)為4a；
當(dāng)a∈(

1

2

，+∞)時，最小項(xiàng)為2a+1．
當(dāng)a=

1

4

時，最小項(xiàng)為4a或8a-1
當(dāng)a=

1

2

時，最小項(xiàng)為4a或2a+1；

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的定義在數(shù)列中應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用