Question

如圖,已知直平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為4的菱形,∠BAD=60°,E為AB的中點,A₁E與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證:平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁;

(2)求點B₁到平面A₁DE的距離;

(3)求二面角A₁-DE-C₁的大小.

Answer 1

解法一：(1)證明:連結BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.∵E為AB的中點,∴DE⊥AB.

又在直平行六面體ABCDA₁B₁C₁D₁中,AA₁⊥平面ABCD,

∵DE平面ABCD,∴AA₁⊥DE.                                             

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                

(2)解:過點B₁作B₁G⊥A₁E于G點.

∵平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁,且平面A₁DE∩平面ABB₁A₁=A₁E,

∴B₁G⊥平面A₁DE,B₁G即為點B₁到平面A₁ED的距離.                         

∵AA₁⊥平面ABCD,∴∠A₁EA為A₁E與平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.∴∠B₁A₁G=60°.

在Rt△A₁B₁G中,B₁G=A₁B₁sin60°=4×,

∴點B₁到平面A₁ED的距離為2.                                          

〔另法提示:可用體積法求點B₁到平面A₁ED的距離〕

(3)解:分別延長AB、A₁B₁至H、H₁,使BH=B₁H₁=2,連結CH、C₁H₁、EH₁、HH₁.

∵EH=DC,EH∥DC,

∴四邊形EHCD為平行四邊形.∴ED∥HC.

同理,H₁C₁∥HC,∴ED∥H₁C₁.∴E、H₁、C₁、D四點共面.

由(1)知DE⊥平面ABB₁A₁,EA₁、EH₁平面ABB₁A₁,

∴DE⊥EA₁,DE⊥EH₁.∴∠A₁EH₁為二面角A₁EDC₁的平面角.                    

在Rt△A₁AE中,由∠A₁EA=60°,AE=2,可得AA₁=2,A₁E=4.

在Rt△H₁HE中,HH₁=2,EH=4,?

?∴EH₁=2.

在△A₁EH₁中,cos∠A₁EH₁=

∠A₁EH₁=arccos.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小為arccos.                                        

〔另法提示:也可由∠A₁EH₁=-∠HEH₁,得出∠A₁EH₁=-arctan〕

解法二：連結BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.

∵E為AB的中點,

∴DE⊥AB,DE=.

∴DE⊥DC.

∵AA₁⊥平面ABCD,

∴∠A₁EA為A₁E與平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.又AA₁⊥AE,AE=2,

∴A₁A=,A₁E=4.                                                         

(1)證明:以點D為坐標原點,DE、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則E(2,0,0),C(0,4,0),D₁(0,0,2),A(2,-2,0),A₁(2,-2,23),B(2,2,0),B₁(2,2, 2),C₁(0,4,2).

∴=(2,0,0),=(0,0,2),=(0,4,0).

∴=(2,0,0)·(0,0,2)=0,

=(2,0,0)·(0,4,0)=0.

∴.                                                    

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                 

(2)同解法一.                                                               

(3)解:由(1)知,DE⊥平面ABB₁A₁,∴DE⊥平面CDD₁C₁.

∴DE⊥EA₁,DE⊥DC₁.

∴〈〉為二面角A₁-ED-C₁的平面角.                                 

又=(0,-2,2),=(0,4,2),

∴=(0,-2,2)·(0,4,2)=4.

∴cos〈〉=.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小為arccos.                                        

〔另法提示:本題也可用法向量夾角來求解,但必須根據(jù)法向量的方向來說明所求二面角的大小與法向量夾角大小之間的關系〕。