Question

在△ABC中，已知A（0，1），B（0，-1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且=4．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）若，
①試確定點F的坐標；
②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出C的坐標，利用向量共線的充要條件及向量的數(shù)量積公式，列出關(guān)于點C的坐標的方程化簡即得到得到點C的軌跡方程；
（2）①設出F的坐標，根據(jù)已知條件，得到點F與點C的關(guān)系，表示出C的坐標，將其代入（1）中求出的方程得到F的坐標．
②先猜想當P點位于直線BF₁與橢圓的交點處時，△PBF周長最大，然后利用橢圓的定義加以證明．
解答：解：（1）如圖，設點C（x，y）（x≠0），E（x_E，0），F(xiàn)（x_F，0），由A，C，F(xiàn)三點共線，，
x_E=．
同理，由B、C、F三點共線可得x_F=．
∵=4，
∴x_E•x_F==4．
化簡，得點C的軌跡方程為x²+4y²=4（x≠0）．
（2）若，
①設F（x_F，0），C（x_C，y_C），
∴⇒（x_c，y_c+1）=-8（x_F-x_c，y_c）．
∴x_c=，y_C=．
代入x²+4y²=4，得x_F=±．
∴F（±，0），即F為橢圓的焦點．
②猜想：取F（，0），設F₁（-，0）是左焦點，
則當P點位于直線BF₁與橢圓的交點處時，△PBF周長最大，最大值為8．
證明如下：|PF|+|PB|=4-|PF₁|+|PB|≤4+|BF₁|，
∴△PBF的周長≤4+|BF₁|+|BF|≤8．
點評：本題考查利用向量解決圓錐曲線問題，求軌跡方程常用的方法有：直接法、相關(guān)點法、交軌法、消參法等，屬于難題．