Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（無需證明），并求函數(shù)的值域；

（3）是否存在實數(shù)，使得的最大值為？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 在上單調(diào)遞增，值域為 (3)

【解析】

（1）證明函數(shù)為奇函數(shù)，首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱。奇函數(shù)還要滿足.

（2）可通過改變函數(shù)單調(diào)性兩個因素：取倒數(shù)和負(fù)號。較易判斷單調(diào)性。單調(diào)性知道后值域就在端點出取得.

（3）首先令進行換元，注意換元后的定義域，將帶有根式的函數(shù)換元成二次函數(shù)進行求解即可.

（1）,

的定義域為

又

奇函數(shù).

（2）判斷：在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞增

，的值域為

（3）

令

則，

①時，在單調(diào)遞增，

時，（符合題意）

②時，開口向下，對稱軸，

當(dāng)，即時，時，

；

當(dāng)，即時，時，（符合題意）

③時，開口向上，對稱軸，

當(dāng)時，（符合題意）

綜上：.