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        1. (2013•沈陽二模)已知函數(shù)f(x)=
          x2
          2
          +a3ln(x-a-a2)
          ,a∈R且a≠0.
          (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)當(dāng)a<0時(shí),若a2+a<x1x2a2-a,證明:
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          a2
          2
          -a
          分析:(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù),得f'(x)=
          (x -a)(x-a2)
          x-a-a2
          ,再分a的正負(fù)討論a、a+a2和a2的大小關(guān)系,即可得到f(x)單調(diào)性的兩種情況,得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn),等價(jià)變形得f(x2)-(
          1
          2
          a2-a
          )x2<f(x1)-(
          1
          2
          a2-a
          )x1.因此轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)h(x)=f(x)-(
          1
          2
          a2-a
          )x在區(qū)間(a2+a,a2-a)內(nèi)單調(diào)遞減,而h'(x)=
          x2-
          3
          2
          a2x+
          a4
          2
          +
          a3
          2
          -a2
          x-a-a2
          ,通過研究分子對(duì)應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間[a2+a,a2-a]上的取值,可得h'(x)<0在x∈[a2+a,a2-a]上恒成立,因此h(x)=f(x)-(
          1
          2
          a2-a
          )x在區(qū)間(a2+a,a2-a)內(nèi)是減函數(shù),從而得到原不等式成立.
          解答:解:(1)由題意,可得f'(x)=x+
          a3
          x-a-a2
          =
          x2-(a+a2)x+a3
          x-a-a2
          =
          (x -a)(x-a2)
          x-a-a2
          .…(2分)
          令f'(x)>0,因?yàn)閤-a-a2>0故(x-a)(x-a2)>0.
          當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閍+a2>a且a+a2>a2,所以上不等式的解為(a+a2,+∞),
          因此,此時(shí)函數(shù)f(x)在(a+a2,+∞)上單調(diào)遞增.…(4分)
          當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)閍<a+a2<a2,所以上不等式的解為(a2,+∞),
          從而此時(shí)函數(shù)f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增,同理此時(shí)f(x)在(a+a2<a2)上單調(diào)遞減.…(6分)
          (2)要證原不等式成立,只須證明f(x2)-f(x1)<(x2-x1)(
          1
          2
          a2-a
          ),
          只須證明f(x2)-(
          1
          2
          a2-a
          )x2<f(x1)-(
          1
          2
          a2-a
          )x1
          因?yàn)?span id="avhbf3c" class="MathJye">a2+a<x1x2a2-a,
          所以原不等式等價(jià)于函數(shù)h(x)=f(x)-(
          1
          2
          a2-a
          )x在區(qū)間(a2+a,a2-a)內(nèi)單調(diào)遞減.…(8分)
          由(1)知h'(x)=x-(
          1
          2
          a2-a
          )+
          a3
          x-a-a2
          =
          x2-
          3
          2
          a2x+
          a4
          2
          +
          a3
          2
          -a2
          x-a-a2
          ,
          因?yàn)閤-a-a2>0,所以考察函數(shù)g(x)=x2-
          3
          2
          a2x
          +
          a4
          2
          +
          a3
          2
          -a2,x∈[a2+a,a2-a].
          a2+a+a2-a
          2
          =a2
          3a2
          4
          ,且g(x)圖象的對(duì)稱軸x=
          3a2
          4
          ∈[a2+a,a2-a],
          ∴g(x)≤g(a2-a)=0.…(10分)
          從而可得h'(x)<0在x∈[a2+a,a2-a]上恒成立,
          所以函數(shù)h(x)=f(x)-(
          1
          2
          a2-a
          )x在(a2+a,a2-a)內(nèi)單調(diào)遞減.
          從而可得原命題成立    …(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題給出含有自然對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并依此證明不等式在給定條件下成立.著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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          1+i
          i3
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          (2013•沈陽二模)橢圓C:
          x2
          4
          +y2=1
          與動(dòng)直線l:2mx-2y-2m+1=0(m∈R),則直線l與橢圓C交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( 。

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