Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-

3

，0)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）點(diǎn)N是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，連接
NP并延長交橢圓右準(zhǔn)線與點(diǎn)T，求

TP

NP

的取值范圍；
（3）設(shè)曲線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C₂、橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S₁，S₂，當(dāng)

S1

S2

=

27

64

時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先利用離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到一個關(guān)于參數(shù)的方程組，解這個方程組即可求出參數(shù)，進(jìn)而求出橢圓C₁的方程．
（2）由題設(shè)條件行求出N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=

4 3

3

，設(shè)P（x，y），則

TP

NP

=

4 3 3 -x

x+2

，再由-2≤x≤2，能求出

TP

NP

的取值范圍．
（3）先把直線MA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用弦長公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進(jìn)而求出S₁，同理可求S₂．再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．

解答：解：（1）∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，
一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(-

3

，0)，
∴

c a = 3 2 c= 3

，
∴a=2，c=

3

，b=

4-3

=1，
∴橢圓C₁的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）∵N是橢圓C₁：

x2

4

+y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不同于點(diǎn)N的任意一點(diǎn)，
∴N（-2，0），橢圓右準(zhǔn)線：x=

4 3

3

，
設(shè)P（x，y），則

TP

NP

=

4 3 3 -x

x+2

，
∵-2≤x≤2，
∴

TP

NP

=

4 3 3 -x

x+2

∈[

2 3 -3

6

，+∞）．
故

TP

NP

的取值范圍是[

2 3 -3

6

，+∞）．
（3）設(shè)直線MA的斜率為k₁，則直線MA的方程為y=k₁x-1．
由

y=k1x-1 y=x2-1

，解得

x=0 y=-1

，或

x=k1 y=k12-1

．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k₁，k₁²-1）．
又直線MB的斜率為-

1

k1

，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

1

k1

，

1

k12

-1）．
于是S₁=

1

2

|MA|•|MB|=

1

2

1+k12

•|k₁|•

1+ 1 k12

•|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

．
由

y=k1x-1 x2+4y2-4=0

，得（1+4k₁²）x²-8k₁x=0．
解得

x=0 y=-1

，或

x= 8k1 1+4k12 y= 4k12-1 1+4k12

，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

8k1

1+4k12

，

4k12-1

1+4k12

）．
又直線ME的斜率為-

1

k1

．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

-8k1

1+4k12

，

4-k12

4+k12

）．
于是S₂=

1

2

|MD|•|ME|=

32(1+k12)•|k1|

(1+4k12)(k12+4)

．
故

S1

S2

=

1

64

(4k12+

4

k12

+17)=

27

64

，解得k₁²=2，或k₁²=

1

2

．
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，k=

k12- 1 k12

k1+ 1 k1

=k₁-

1

k1

．所以k=±

2

2

．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y=

2

2

x和y=-

2

2

x．

點(diǎn)評：本題是對橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問題的考查．是一道整理過程很麻煩的題，需要要認(rèn)真，細(xì)致的態(tài)度才能把題目作好．