Question

附加題：（選做題：在下面A、B、C、D四個(gè)小題中只能選做兩題）
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的垂直平分線，
已知AB=6，CD=2

5

，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=

1 1

和特征值λ₂=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2=

1 0

，試求矩陣A．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是

y=sinθ+1 x=cosθ

（θ是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：A．連接BC，設(shè)AB，CD相交于點(diǎn)E，AE=x，由AB是線段CD的垂直平分線，知AB是圓的直徑，∠ACB=90°，則EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得x（6-x）=5，由此能求出線段落AC的長度．
B．設(shè)矩陣A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，因?yàn)?span id="y0q9uwk" class="MathJye">

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，所以

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因?yàn)?span id="nsxw5ft" class="MathJye">

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，所以

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

，由此能求出矩陣A．
C．由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，兩式平方后相加得x²+（y-1）²=1，所以曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于1的圓．由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．
D．（1）當(dāng)a=1時(shí)，得2|x-1|≥1，由此能求出不等式的解集．
（2）由|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，知原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：A．（選修4-l：幾何證明選講）
連接BC設(shè)AB，CD相交于點(diǎn)E，AE=x，
∵AB是線段CD的垂直平分線，
∴AB是圓的直徑，∠ACB=90°（2分）
則EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得CE²=AE•EB，
即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5（8分）
∴AC²=AE•AB=5×6=30，即AC=

30

．（10分）

B．（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)矩陣A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
因?yàn)?span id="gc0uxar" class="MathJye">

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，
則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，（4分）
又因?yàn)?span id="94smrdf" class="MathJye">

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，
則有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

②，（6分）
根據(jù)①②，則有

1-a-b=0    -c+1-d=0    2-a=0    -c=0

（8分）
從而a=2，b=-1，c=0，d=1，
因此A=

2-1 01

，（10分）
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，
兩式平方后相加得x²+（y-1）²=1，（4分）
∴曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于1的圓
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ=2sinθ．即曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ． （10分）
D．（選修4-5：不等式選講）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，
解得x≥

3

2

或x≤

1

2

，
∴不等式的解集為(-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞)．   （5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，
∴原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1．
∴a-1≥1，或a-1≤-1．
∴a≥2，或a≤0．
∵a＞0，∴a≥2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，+∞）．   （10分）

點(diǎn)評(píng)：A．本題考查線段長度的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
B．本題考查矩陣與變換的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意特征方程和特征值的合理運(yùn)用．
C．本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意把極坐標(biāo)方程恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為普通方程．
D．本題考查不等式的解法和求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意含絕對(duì)值不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．