Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓： 的左焦點是，離心率為，且上任意一點到的最短距離為.

（1）求的方程；

（2）過點的直線（不過原點）與交于兩點、， 為線段的中點.

（i）證明：直線與的斜率乘積為定值；

（ii）求面積的最大值及此時的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）見解析；（ii）面積的最大值是，此時的斜率為.

【解析】試題分析：（1）由題設可以得到關于的方程組為，從而，故，所以橢圓的方程為.（2）設直線為： ， ， ， ，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并消元后可以得到，利用韋達定理得到，故，從而為定值.利用弦長公式和點到直線的距離可得，令，從而，最后利用基本不等式可以得到面積的最大值為且此時也就是.

解析：（1）由題意得，解得，∴， ，∴橢圓的方程為.

（2）（i）設直線為： ， ， ， ，由題意得，

∴，∴，即，由韋達定理得： ， ，∴， ，∴，∴，∴直線與的斜率乘積為定值.

（ii）由（i）可知：

，又點到直線的距離，

∴的面積

，令，則，∴ ，當且僅當時等號成立，此時，且滿足，∴面積的最大值是，此時的斜率為.