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        1. 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=an+n(n∈N*),數(shù)列bn滿足b1=1,(n+2)bn+1=nbn(n∈N*),數(shù)列cn滿足c1=1,
          c1
          1
          +
          c2
          22
          +…+
          cn
          n2
          =
          cn+1
          n+1
          (n∈N*
          (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
          (2)求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;
          (3)是否存在正整數(shù)k使得k(an+
          7
          2
          )-
          3
          bn+1
          cn+6n+15
          對(duì)一切n∈N*恒成立,若存在求k的最小值;若不存在請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)利用數(shù)列的遞推關(guān)系建立數(shù)列的第n項(xiàng)與前面各項(xiàng)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,注意累加思想和累乘思想的運(yùn)用;
          (2)利用相減的思想建立數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,注意累乘思想的運(yùn)用和分類討論思想的運(yùn)用;
          (3)將所給的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,注意分離變量思想和函數(shù)最值思想的運(yùn)用.
          解答:解:(1)∵a1=1,an+1=an+n(n∈N*
          ∴n≥2,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1=
          n(n-1)
          2
          +1
          =
          1
          2
          n2-
          1
          2
          n+1

          an=
          1
          2
          n2-
          1
          2
          n+1
          (n∈N*),(n+2)bn+1=nbn(n∈N*
          bn+1
          bn
          =
          n
          n+2

          n≥2,bn=
          bn
          bn-1
          bn-1
          bn-2
          b2
          b1
          b1=
          n-1
          n+1
          n-2
          n
          1
          3
          •1
          =
          2
          n(n+1)

          bn=
          2
          n(n+1)
          (n∈N*

          (2)c1=1,
          c1
          1
          +
          c2
          22
          +…+
          cn
          n2
          =
          cn+1
          n+1

          c1
          1
          +
          c2
          22
          +…+
          cn-1
          (n-1)2
          =
          cn
          n
          (n≥2)(n∈N*
          兩式相減得:
          cn
          n2
          =
          cn+1
          n+1
          -
          cn
          n

          cn+1
          cn
          =
          (n+1)2
          n2
          ,n=1,
          c1
          1
          =
          c2
          2
          得出c2=2,n≥2
          cn=
          cn
          cn-1
          cn-1
          cn-2
          c3
          c2
          c2=
          n2
          (n-1)2
          (n-1)2
          (n-2)2
          32
          22
          •2
          =
          n2
          2

          cn=
          1,n=1
          n2
          2
          ,n≥2,n∈N*

          (3)當(dāng)n=1時(shí),k(a1+
          7
          2
          )-3•
          1
          b2
          c1+6+15

          k>
          62
          9
          且k∈N*k≥7且k∈N*
          當(dāng)n≥2時(shí),k(an+
          7
          2
          )-
          3
          bn+1
          cn+6n+15
          ,即k(
          n2
          2
          -
          n
          2
          +
          9
          2
          )-
          3
          2
          (n+2)(n+1)>
          n2
          2
          +6n+15

          k(n2-n+9)>4n2+21n+36
          ∵n2-n+9>0恒成立,
          k>
          4n2+21n+36
          n2-n+9

          事實(shí)上:
          4n2+21n+36
          n2-n+9
          =4+
          25
          n+
          9
          n
          -1
          n+
          9
          n
          ≥6
          (n=3取等號(hào))
          (
          4n2+21n+36
          n2-n+9
          )max
          =9∴k>9且k∈N*
          綜上:k≥10,k∈N*故k的最小值為10.
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列通項(xiàng)公式之間的關(guān)系,考查通過數(shù)列的遞推關(guān)系尋找相鄰項(xiàng)之間關(guān)系的累加法和累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生分析問題解決問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學(xué)生不等式恒成立問題的解決方法,考查學(xué)生的函數(shù)思想處理數(shù)列問題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列an滿足a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*
          (1)求a1,a2,a3,a4的值;
          (2)由(1)猜想an的通項(xiàng)公式,并給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列an滿足a1=2,
          an+1
          2an
          =1+
          1
          n

          (Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)若數(shù)列{
          an
          n
          }
          的前n項(xiàng)和為Sn,試比較an-Sn與2的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列an滿足a1=1,n≥2時(shí),
          an
          an-1
          =
          2-3an
          an-1+2

          (1)求證:數(shù)列{
          1
          an
          }
          為等差數(shù)列;
          (2)求{
          3n
          an
          }
          的前n項(xiàng)和.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列an滿足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).
          (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
          (2)對(duì)任意給定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<r)使
          1
          ak
          ,  
          1
          ap
          ,  
          1
          ar
          成等差數(shù)列?若存在,用k分別表示p和r(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說明理由;
          (3)證明:存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長為an1,an2,an3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
          n
          2
          (n∈N*).
          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
          (Ⅱ)若bn=
          n
          an
          求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

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