Question

已知f（x）=（x∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（3）在（2）的條件下，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=的兩個(gè)根為x₁、x₂，若對(duì)任意a∈A，t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1時(shí)，，由此能求出過(guò)（2，f（2））切線方程．
（2）由=，f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，知x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍A．
（3）由，得x²-ax-2=0，由△=a²+8＞0，知，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=（x∈R），
∴a=1時(shí)，f（x）=，
∴，
∴f′（2）=0，f（2）==，
∴過(guò)（2，f（2））切線方程為y=．
（2）∵f（x）=（x∈R），
∴=，
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．
設(shè)g（x）=x²-ax-2，則問(wèn)題等價(jià)于
，解得-1≤≤1．
∴A=[-1，1]．
（3）由，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而，
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
設(shè)g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），則問(wèn)題等價(jià)于：，
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查集合的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．