Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m
（1）作函數(shù)f（x）的圖象
（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|= ，

由分段函數(shù)的圖象畫法可得圖象如右

（2）解：由（1）知，當(dāng)x=﹣ 時(shí)，f（x）的最大值為 ，即m= ；

∴a2+b2+2c2= ，

設(shè)a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，

令2 ：2 =1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t= ，

∴a2+b2+2c2=a2+ b2+ b2+2c2≥2 ab+4 bc= （ab+2bc）

∴ab+2bc≤ （a2+b2+2c2）= （當(dāng)且僅當(dāng)a2=c2= ，b2= 時(shí)取“=”號(hào)）

【解析】（1）討論x的范圍：x≤﹣ ，﹣ ＜x≤1，x≥1，去掉絕對(duì)值，寫出分段函數(shù)的形式，畫出圖象；（2）通過(guò)圖象可得最大值m，設(shè)a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2 ab+2 bc，令2 ：2 =1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．