Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）的單調(diào)性，并加以說明；
（Ⅱ）當(dāng)0＜m＜1時，是否存在α，β，使得f（x）在區(qū)間[α，β]（β＞α＞0）上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）x＜-3或x＞3．由于f（x）的定義域為[α，β]，則α＞3．
設(shè)β≥x₁＞x₂≥α，有，
故當(dāng)0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)m＞1時，f（x）為增函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]
由（Ⅰ）知當(dāng)0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)．
則
即又β＞α＞3
即α，β為方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0的大于3的兩個不同的實數(shù)根．
從而得．
故當(dāng)時，存在滿足題意條件的α，β．（13分）
分析：（Ⅰ）通過對數(shù)的真數(shù)大于0，集合函數(shù)f（x）的定義域為[α，β]，推出α的范圍．直接利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意當(dāng)0＜m＜1與m＞1兩種情況．
（Ⅱ）通過f（x）在[α，β]上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，利用（Ⅰ）f（x）單調(diào)性．列出關(guān)系式，通過二次函數(shù)與方程的根的關(guān)系，確定m的范圍，判斷是否存在滿足題意條件的α，β．
點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，考查分析問題解決問題的能力．