Question

（2013•徐州一模）選修：4-2：矩陣與變換
若圓C：x²+y²=1在矩陣A=

a，0 0，b

（a＞0，b＞0）對應(yīng)的變換下變成橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1，求矩陣A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y）為圓C上的任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋�點P'（x'，y'），代入橢圓方程，對照圓的方程即可求出a和b的值，從而得到矩陣A，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)P（x，y）為圓C上的任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋�點P'（x'，y'），
則 

x′′ y′′

=

a 0 0 b

x′ y′

，即

x′=ax y′=by

…（4分）
又因為點P'（x'，y'）在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1．
由已知條件可知，x²+y²=1，所以 a²=4，b²=3．
因為 a＞0，b＞0，
所以 a=2，b=

3

． …（10分）
∴A=

2 0 0 3

，
∴根據(jù)A=

a b c d

的逆矩陣A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

，
∴矩陣A的逆矩陣A^-1=

1 2 0 0 3 3

．

點評：本題主要考查了特殊矩陣的變換、逆變換與逆矩陣，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．