Question

如圖X15－3所示，已知圓C₁：x²＋(y－1)²＝4和拋物線C₂：y＝x²－1，過坐標原點O的直線與C₂相交于點A，B，定點M的坐標為(0，－1)，直線MA，MB分別與C₁相交于點D，E.

(1)求證：MA⊥MB；
(2)記△MAB，△MDE的面積分別為S₁，S₂，若＝λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
則?x²－kx－1＝0，所以x₁＋x₂＝k，x₁x₂＝－1.
又·＝(x₁，y₁＋1)·(x₂，y₂＋1)＝(k²＋1)x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋1＝－k²－1＋k²＋1＝0，
∴MA⊥MB.
(2)設(shè)直線MA的方程為y＝k₁x－1，MB的方程為y＝k₂x－1，k₁k₂＝－1.
解得或
∴A(k₁，－1)，同理可得B(k₂，－1)，
∴S₁＝|MA||MB|＝|k₁k₂|.
又解得或
∴D，同理可得E.
∴S₂＝|MD||ME|＝.
＝λ＝＝≥.故λ的取值范圍是.