Question

已知圓O：x²+y²=8交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，直線l：x=-4為準(zhǔn)線的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若M是直線l上的任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線PQ必過定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅲ）如圖所示，若直線PQ與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，且，試求此時弦PQ的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)M（-4，m），則圓K方程為，與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²，能夠證明直線PQ必過定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則，由，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），由此入手能夠求出弦PQ的長．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則：
，從而：，故b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3分）
（Ⅱ）設(shè)M（-4，m），則圓K方程為與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，過定點(diǎn)E（-2，0）．（7分）
（Ⅲ）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則，①
∵，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：，
代入①解得：（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
從而圓心O（0，0）到直線PQ的距離d=，
∴．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．