Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁，二面角A-BD-C的大小為

π

3

．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B₁C與平面BCD所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（I）證明四邊形AMED為平行四邊形，可得DF∥AM，利用線面平行的判定定理，可得DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B₁C與平面BCD所成的線面角，只需求點B₁到面BDC的距離即可．

解答：（I）證明：取BC的中點M，連接AM，EM，則
DA平行且等于

1

2

BB₁，EM平行且等于

1

2

BB₁
∴DA∥EM，DA=EM
∴四邊形AMED為平行四邊形
∴DF∥AM
∵DF?平面ABC，AM?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）解：求B₁C與平面BCD所成的線面角，只需求點B₁到面BDC的距離即可．
作AG⊥BD于G，連GC，則GC⊥BD，∠AGC為二面角A-BD-C的平面角，∠AGC=60°
不妨設(shè)AC=2

3

，則AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得AD=

6

設(shè)點B₁到面BDC的距離為h，B₁C與平面BCD所成的角為α．
利用

1

3

S△B1BC•DE=

1

3

S△BCDh，可求得h=2

3

，又可求得B1C=4

3

，
∴sinα=

1

2

，∴α=30°．
即B₁C與平面BCD所成的角為30°．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．