Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上， 為橢圓的右焦點(diǎn)， 分別為橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn).若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與相交于點(diǎn)，證明： 三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和的斜率之積為可得到關(guān)于的方程組，解方程組后可得橢圓的方程．（2）由（1）可得軸，要證三點(diǎn)共線，只需證軸，即證，即證直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．根據(jù)題意可得直線， ，故只需證當(dāng)x=1時(shí)， 成立即可，結(jié)合由直線的方程和橢圓方程聯(lián)立消元后得到的二次方程可得顯然成立，故得所證結(jié)論成立．

試題解析：

（1）∵點(diǎn)在橢圓，

∴①．

設(shè)，由線段的斜率之積為得，

，

∴②，

由①②解得， ， .

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）可得軸，要證三點(diǎn)共線，只需證軸，即證.

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴

設(shè)， ，

則， （*），

因?yàn)橹本�， ，

即證： ，

即證 .

即證.

將（*）代入上式可得，

整理得.

此式明顯成立，故原命題得證.

所以三點(diǎn)共線.