Question

現(xiàn)有一批貨物用輪船從上海洋山深水港運(yùn)往青島，已知該船航行的最大速度為35海里/小時(shí)，上海至青島的航行距離約為500海里，每小時(shí)運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其余費(fèi)用組成、輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船速度的平方成正比（比例系數(shù)為0.6），其余費(fèi)用每小時(shí)960元，
（1）把全程運(yùn)輸費(fèi)用y（元）表示為速度x（海里/小時(shí)）的函數(shù)；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最低，輪船應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）全程運(yùn)輸費(fèi)用y（元）包括燃料費(fèi)用和其余費(fèi)用，每小時(shí)燃料費(fèi)用 m=0.6x²（0＜x≤35）、其余費(fèi)用每小時(shí)960元，兩項(xiàng)相加即 為每小時(shí)的費(fèi)用，全程的時(shí)間與每小時(shí)費(fèi)用的乘積即全程費(fèi)用．
（2）全程運(yùn)輸費(fèi)用y（元）關(guān)于速度x（海里/小時(shí)）的函數(shù)是y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，求函數(shù)的最小值時(shí)因?yàn)榛�本不等式等�?hào)成立的條件不足備，所以用單調(diào)性來(lái)最小值，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性比較快捷．

解答：解：（1）設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)用為m元，則m=0.6x²（0＜x≤35）、由題意，全程所用的時(shí)間為

500

x

小時(shí)，所以y=0.6x2•

500

x

+960•

500

x

=300(x+

1600

x

)，x?（0，35]，
故所求的函數(shù)為y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，
（2）以下討論函數(shù)y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]的單調(diào)性：y/=300(1-

1600

x2

)，x∈（0，35]時(shí)，y^/＜0，
∴函數(shù)y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]是減函數(shù)，
故當(dāng)輪船速度為35海里/小時(shí)，所需成本最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用題的轉(zhuǎn)化能力及考查基本不等式求最值的條件，以及用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．用單調(diào)性求最值．