Question

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為：，的直角坐標(biāo)方程為：；（2）.

【解析】

（1）直接消參可得曲線的普通方程，整理可得，將代入即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程，問題得解。

（2）利用伸縮變換求得曲線：，利用橢圓的參數(shù)方程可設(shè)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及輔助角公式即可解決問題。

解：（1）∵，消參可得曲線的普通方程為：，

∵，∴，

又∵,代入可得：.

故曲線的直角坐標(biāo)方程為：.

（2）曲線：，經(jīng)過伸縮變換得到曲線的方程為：，

∴曲線的方程為：.

設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得

（其中），

∴點(diǎn)到曲線的距離的最大值為.