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        1. 如圖,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD.AD=AB=2BC,四邊形ABEF為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD.
          (Ⅰ)C、D、E、F四點共面嗎?證明你的結(jié)論;
          (Ⅱ)設(shè)AF=kAB(0<k<1),二面角A-FD-B的余弦值為,求實數(shù)k的值.

          【答案】分析:解法一:(Ⅰ)C、D、E、F四點不共面.利用反證法進(jìn)行證明;
          (Ⅱ)作MT⊥FD于T,連接BT,則由三垂線逆定理可知BT⊥FD,所以∠MTB就是所求二面角的平面角,從而可求得結(jié)論;
          解法二:以D為原點,DC為x軸,DA為y軸建立右手直角坐標(biāo)系(Ⅰ)若C、D、E、F四點共面,則存在實數(shù)λ,μ使得,確定所得方程組無解即可;
          (Ⅱ)確定平面AFD的一個法向量,求出平面BDF的法向量,利用向量的夾角公式,即可得到結(jié)論.
          解答:解法一:
          (Ⅰ)C、D、E、F四點不共面.
          證明:假設(shè)C、D、E、F四點共面.
          因為EF∥AB,AB⊆平面ABCD,EF?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,
          因為EF⊆平面CDEF,且平面ABCD∩平面CDEF=CD,所以EF∥CD,
          又EF∥AB,所以AB∥CD,這與已知矛盾.
          所以假設(shè)不成立,因此C、D、E、F四點不共面.------(6分)
          (Ⅱ)因為平面ABEF⊥平面ABCD,且AF⊥AB,所以AF⊥平面ABCD,
          所以平面AFD⊥平面ABCD.
          △ABD為正三角形,連接BM,則BM⊥AD,所以BM⊥平面ADF.
          作MT⊥FD于T,連接BT,則由三垂線逆定理可知BT⊥FD,所以∠MTB就是所求二面角的平面角.---------(9分)
          不妨設(shè)AB=2,則
          由于,所以,所以
          由△DMT∽△DFA,可得,解得,所以.--------(14分)
          解法二:以D為原點,DC為x軸,DA為y軸建立右手直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則AF=2k.
          所以D(0,0,0),,A(0,2,0),F(xiàn)(0,2,2k),.--------(3分)
          (Ⅰ)若C、D、E、F四點共面,則存在實數(shù)λ,μ使得,即,λ,μ無解,
          因此C、D、E、F四點不共面.--------(6分)
          (Ⅱ)因為平面ABEF⊥平面ABCD,且AF⊥AB,所以AF⊥平面ABCD,所以AF⊥DC,又因為AD⊥DC,所以DC⊥平面AFD,所以平面AFD的一個法向量.
          設(shè)平面BDF的法向量為=(x,y,z),則有,
          ,則可以得到其中的一個法向量為
          由因為二面角A-FD-B的余弦值為,所以,解得.----------------(14分)
          點評:本題考查四點共面,考查面面角,考查利用向量方法解決立體幾何問題,確定平面的法向量是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD與A′ABB′都是邊長為a的正方形,點E是A′A的中點,A′A⊥平面ABCD.
          (1) 求證:A′C∥平面BDE;
          (2) 求證:平面A′AC⊥平面BDE
          (3) 求平面BDE與平面ABCD所成銳二面角的正切值.

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          精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
          12
          PD.
          (Ⅰ)證明PQ⊥平面DCQ;
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          (2)求二面角P-DE-A的余弦值.

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          128°
          128°

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          如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
          12
          PD.
          (1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
          (2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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