Question

（2010•新疆模擬）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=

lnx

x

，其中e是自然對數(shù)的底，a∈R．
（Ⅰ）a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，由x∈（0，e]和導數(shù)的性質能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值．
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，由此進行分類討論能推導出存在a=e²．
（Ⅲ）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值為1，所以g′(x)=

1-lnx

x2

，由此能夠證明f（x）＞g（x）+

1

2

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∵x∈（0，e]，
由f′(x)=

x-1

x

＞0，得1＜x＜e，
∴增區(qū)間（1，e）．
由f′(x)=

x-1

x

＜0，得0＜x＜1．
∴減區(qū)間（0，1）．
故減區(qū)間（0，1）；增區(qū)間（1，e）．
所以，f（x）極小值=f（1）=1．
（Ⅱ）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當a≤0時，f（x）在（0，e）上是減函數(shù)，
∴ae-1=3，a=

4

e

＞0．
②當0＜a＜

1

e

時，f（x）=

1

e

，f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
∴ae-1=3，a=

4

e

＞

1

e

．
③當a≥

1

e

時，f（x）在(0，

1

a

]上是減函數(shù)，(

1

a

，e)是增函數(shù)，
∴a

1

a

-ln

1

a

=3，a=e²，
所以存在a=e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）f（x）=x-lnx在（0，e]上的最小值為f（1）=1，
∵g（x）=

lnx

x

，
∴g′(x)=

1-lnx

x2

，
由g′(x)=

1-lnx

x2

＞0，
解得0＜x≤e，
∴g（x）在 （0，e]上為增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

，
∵1＞

1

2

+

1

e

，
∴f（x）＞g（x）+

1

2

．

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．