Question

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+1(a、b∈R,b≥-2)在區(qū)間［-,］單調(diào)遞減,設(shè)g(x)=-3f(x)+mx²-6x(m∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式.

(2)若x∈R⁺時(shí),g′(x)≤恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f′(x)=x²+ax+b,∵f(x)在［-,］遞減,∴x∈［-,］時(shí)f′(x)≤0恒成立,

f′()=2+a+b≤0,①f′(-)=2-a+b≤0,②

①+②得4+2b≤0,∴b≤-2.又∵b≥-2,∴b=-2.∴f′(x)=x²+ax-2.

若≤0,即a≥0時(shí),則f′()=2+a-2≤0,即a≤0,∴a=0.

若＞0,即a＜0時(shí),則f′(-)=2-a-2≤0,即a≥0與a＜0矛盾,∴舍去.綜上a=0.

∴f(x)=x³-2x+1.

(2)g(x)=-3(x³-2x+1)+mx²-6x=-x³+mx²-3,∴g′(x)=-3x²+2mx≤(x∈R)在x∈R⁺時(shí)恒成立.

∴2mx≤3x²+.∵x＞0,∴m≤(3x+)在x∈R⁺時(shí)恒成立.

x＞0時(shí),3x+≥2,即3x+的最小值為2.∴m≤·2,即m≤1.