Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點，AA₁：AB=

2

：1，則異面直線AB₁與BD所成的角為

 

．

Answer 1

分析：要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角，利用余弦定理得到角的余弦值，得到角的大小．

解答：解：取A₁C₁的中點D₁，連接B₁D₁，
∵D是AC的中點，
∴B₁D₁∥BD，
∴∠AB₁D₁即為異面直線AB₁與BD所成的角．
連接AD₁，設AB=a，則AA₁=

2

a，
∴AB₁=

3

a，B₁D₁=

3

2

a，AD₁=

a2 4 +2a2

=

3

2

a．
∴cos∠AB₁D₁=

3a2+ 3 4 a2- 9 4 a2

2× 3 a× 3 2 a

=

1

2

，
∴∠AB₁D₁=60°．
故答案為：60°

點評：本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．