Question

【題目】若點(diǎn)在平面外，過點(diǎn)作面的垂線，則稱垂足為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影，記為.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①線段長(zhǎng)度的取值范圍是；②存在點(diǎn)使得平面；③存在點(diǎn)使得.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法驗(yàn)證各個(gè)結(jié)論，即可得到結(jié)果.

過作，垂足為；過作，交于；連接，交于，如下圖所示：

平面，平面，，

又，平面，，平面，

，平面，平面，，

即為；

四邊形為正方形，，

平面，平面，，

又平面，，平面，

，即為.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

對(duì)于①，，，，

，①正確；

對(duì)于②，平面，平面的一個(gè)法向量，

又，令，即，

解得：，存在點(diǎn)，使得平面，②正確；

對(duì)于③，，，

令，方程無解，

不存在點(diǎn)，使得，③錯(cuò)誤.

故答案為：①②.